Club Aurora

Твоят прозорец към космоса.

Орбитална механика за начинаещи
Питали ли сте се какво кара да се движат космическите обекти? Ако  да – продължавайте да чете. А ако не – продължавайте да четете,... Орбитална механика за начинаещи

Питали ли сте се какво кара да се движат космическите обекти? Ако  да – продължавайте да чете. А ако не – продължавайте да четете, тъкмо ще научите нещо ново. Няма да навлизаме в детайли, но ще видите, че по принцип орбиталната механика не е много сложна. Както и всичко останало в природата!

Ще започнем с факти, които би трябвало да са известни на всеки. В училище сме научили, че Луната се върти около Земята. Земята от своя страна обикаля около Слънцето, както и останалите планети от Слънчевата система. Ясно е и че всички космически тела се въртят около оста си. Познанията на доста хора се изчерпват дотук, но ни и орбиталните движения. Слънцето също не стои на едно място, а обикаля заедно с останалите звезди на небето около ос, минаваща през центъра на нашия звезден остров – галактиката Млечен път. Галактичната година на Слънцето трае около 230 млн. земни години, което означава, че откакто е създадена планетата ни преди 4,6 млрд. години, Слънцето е обиколило Млечния път 20 пъти.

Останалите стотици милиони галактики също се въртят около оста си. Всичко във вселената се върти.  А защо това е така? Идеята е, че когато вселената се е образувала след Големия взрив, тя е представлявала еднородна каша от изключително гореща материя, чийто частици се движат във всички възможни посоки. С времето кашата е изстинала и започнала да се свива под действие на гравитационните сили – обособили се гигантски структури от вещество, от които по-късно при по-нататъшното свиване се получили галактиките. Казахме, че първоначално материята се е движела хаотично, но при това обособяване на гигантските облаци от вещество (протогалактики), станало така че случайно в даден облак преобладават частици, които се движат в една посока, докато в друг облак преобладаващите частици може да са насочени в различна посока. Масата на облака води до изкривяване на праволинейните траектории на тези частици и в края на краищата той се завърта. Ето защо днес всички галактики се въртят около оста си.

abellclust_hst_lr720 Орбитална механика за начинаещи

Повечето от светещите точици, които виждате на това изображение, не са звезди, а галактики. Галактиките се групират в огромни структури, наречени галактични купове, където обикалят около общия център на масите. Това тук е купът Abell S0740, видян от космическия телескоп Хъбъл. Изображение: NASA/ESA/Hubble

 

Тук има и друга особеност – колкото повече се свива протогалактиката, толкова по-бързо се върти тя около оста си. На езика на физиката това се нарича запазване на момента на импулса,  което е един от най-основните природни закони.  В нашия случай, когато облакът се свива, радиусът му намалява и той става по-малко инертен (инерционният момент на въртящите се обекти е мярка за това колко лесно може да бъде завъртян обекта. Тези с по-малък радиус и малка маса са най-малко инертни). За да се запази моментът на импулса, който е произведение на инерционния момент по ъгловата скорост на въртене, скоростта на въртене трябва да нарасне. Както и става. Сигурно това звучи малко отнесено, но ежедневният ни опит предоставя множество примери за същността на този закон. На фигуристите им е особено добре познат – първоначално те се завъртат с разперени ръце и когато ги събират към тялото скоростта им на въртене се увеличава значително поради намаленият инерционен момент:

44m Орбитална механика за начинаещи

След образуването на протогалактиките процесът на уплътняване и завъртане се повторил в по-малък мащаб при образуването на самите звезди и планетарните системи. Нека вземем като пример нашата Слънчева система. Тя води началото си от общ газов облак (протозвезда), въртящ се в някаква посока. Всички нейни планети, които съществуват днес, обикалят около Слънцето в същата посока и (почти) всички се въртят около оста си в една и съща посока. Изключение от правилото е планетата Уран, която най-вероятно в миналото е претърпяла мащабен сблъсък, отклонил оста й на въртене с десетки градуса.

science1 Орбитална механика за начинаещи

Наклонът на оста на Уран е причина за това денят и нощта в полярните ширини на планетата да продължават десетки години. Изображение: University of Wisconsin – Madison

С други думи движението на телата в космоса днес се дължи на първоначалния кипеж на частиците след Големия взрив и последвалите гравитационни интеракции. Това движение е непрестанно – космическите тела се движат в почти идеален вакуум, така че няма какво да ги спре. Пътят, който те изминават, се нарича орбита и той се определя единствено от два параметъра – скоростта, с която се движи тялото, и гравитационната сила, която му действа. В зависимост от съотношението на двата параметъра са възможни няколко типа орбити:

    • Кръгова орбита

Повечето от нас свързват думата „орбита” с движение по окръжност, но в реалността идеалната кръгова орбита на практика е изключително рядка, да не кажем невъзможна.  Затова пък е най-лесна за разбиране. Да речем, че има две тела, едното от които е много по-масивно от другото, така че масата на по-малкото тяло може да се пренебрегне. Ако малкото тяло се движи по кръгова орбита около по-масивното, това означава че разстоянието между двете тела (радиусът на орбитата) и скоростта на орбитиращото тяло са постоянни във всеки момент. Налице е равенство между гравитационната сила, която се стреми да привлече тялото към центъра на системата, и центробежната сила, която се стреми да запрати тялото в космическия простор или:f-la Орбитална механика за начинаещиТук членът вляво е гравитационната сила (G e гравитационната константа, M и m са масите съответно на централното и орбитиращото тяло, а r – радиусът на орбитата),  от дясно – центробежната сила (v е скорост на движение на орбитиращото тяло). От тази формула можем да изразим скоростта, която би имала обикалящото в кръгова орбита тяло: f-la2 Орбитална механика за начинаещи. Ако тук заместим М с масата на Земята, а r – с радиусът й, за v ще получим следната стойност – 7 910 m/s.

Нека сега си представим, че вие притежавате оръдия, с които изстрелвате снаряди. С колкото по-мощно оръдие стреляте, толкова по-висока скорост развива снарядът и толкова по-далече отива той. Логично, нали? Ако намерите такова оръдие, което да стреля с гореполучената скорост, вашият снаряд ще отиде толкова далеч, че ще обиколи земното кълбо. Но няма да падне върху главата ви, а ще продължи да обикаля Земята отново и отново, и отново… С други думи снарядът ще се превърне в сателит на Земята. Той няма да тупне обратно на повърхността, защото според горното  равенство при тази скорост центробежната сила ще уравновесява гравитационната и няма причина да губи височина. Това обаче не означава, че снарядът не пада – движението по кръгова орбита около Земята всъщност е идентично със свободното падане. Поради тази причина астронавтите в космическите станции изпитват безтегловност (повече по тази тема можете да прочетете тук).

Въпросната скорост, която получихме, се нарича първа космическа скорост – минималната скорост, която едно тяло трябва да има, за да бъде сателит.

speed9 Орбитална механика за начинаещи

На това изображение виждате каква скорост трябва да имат сателитите на Земята, за да поддържат кръгови орбити при различна височина. Изображение: Jeff Root

Разсъждения като това за снаряда на пръв поглед изглеждат повърхностни, но всъщност точно те са поставили началото на ракетното инженерство и космическото усвояване. Хубавото на такива мисловни експерименти  е, че те са достатъчно прости за разглеждане и ни позволяват да видим основното в картинката. А картинката в действителност е по-сложна – например по-горе ние пропуснахме да помислим за съпротивлението, което ще оказва въздухът върху снаряда. Но това е една допълнителна сила, влияеща съществено върху движението му. В реалността снарядът няма да кръжи безспирно около Земята; той ще падне обратно по спирална траектория. Поради тази причина при извеждането на истински сателити в орбита е необходимо те да се ускорят до по-висока скорост от първа космическа, така че да се движат на височина, където влиянието на атмосферата може да се пренебрегне (поне няколкостотин километра).

  • Елиптична орбита

Математическото и физическото описание на елиптичните орбити е по-трудно от това на кръговите орбити.  Разбрахме се да заобиколим подробностите, но все пак ще се опитам да обясня за какво иде реч.

Както стана дума, в реалността кръговите орбити са малко вероятни и това е така поради една проста причина – при тях има равновесие на центробежната сила и гравитационната сила на привличане между централното и орбитиращото тяло. Не ни интересуват никакви други сили, които биха развалили равновесието, но ако се замислим това е доста подвеждащо (както видяхме и в случая с въздушното съпротивление при полета на снаряда). Какво ще стане например, ако планета обикаляща по кръгова орбита около звезда, се удари случайно с друго тяло (астероид, комета и пр.)? Нека приемем, че в резултат на удара, планетата увеличи орбиталната си скорост. Това ще наруши равновесието между гравитационната и центробежната сила и разстоянието между планетата и звездата ще се увеличи. Гравитацията на звездата обаче ще намалява скоростта на планетата, така че в дадена точка от орбитата й, тя ще спре да се отдалечава и ще започне да се приближава към звездата, като при това отново ще увеличава скоростта си, докато не достигне скоростта, която е имала след удара. След това отново ще се забави и после пак ще се ускори и така нататък. (Ситуацията е аналогична с тази, когато хвърлим камък отвесно нагоре – в началото скоростта на камъка е най-голяма, но докато лети нагоре земната гравитация го забавя. В един момент камъкът спира и тръгва обратно надолу, като пада на земята със същата скорост, с която сме го хвърлили.)

И така, планетата след удара вече има нова орбита и тя не е кръгова. Елиптична е. Елиптични са орбитите на всички планети, астероиди, комети и каквото се сетите. За елиптичните орбити е характерно, че когато орбитиращото тяло се намира най-далеч от централното тяло, линейната му скорост е минимална, а когато е най-близо – скоростта му е максимална.  Ето така:

ellipse5 Орбитална механика за начинаещи

Тук е моментът да обърнем внимание върху един-два важни параметъра на елипсата като геометрична фигура:

elipse-1024x597 Орбитална механика за начинаещи

Във всяка елипса има две особени точки, наречени фокуси. За фокусите е характерно това, че сумата на двете разстояния от тях до точка от самата елипса (на картинката l1 и l2) винаги е една и съща. Разстоянието между двата фокуса дефинира формата на елипсата – колкото по-раздалечени са, толкова по-сплесната е тя. Ако искаме да определим степента на сплеснатост на елипсата (научният термин се нарича ексцентрицитет и се бележи с е), трябва да разделим разстоянието с на картинката на дължината на голямата полуос. Така че: е = c/голяма полуос. Окръжността, като частен случай на елипсата, има ексцентрицитет равен на 0 (понеже с = 0).

При елиптичната орбита централното масивно тяло (да речем Слънцето) не се намира в „центъра” на елипсата (пресечницата на малката и голяма полуос), а в единия от двата фокуса (в другия няма нищо):

elipse2-1024x583 Орбитална механика за начинаещи

Имайте предвид, че картинки като тази тук са леко заблуждаващи. Всички тела обикалят по елиптични орбити, но те не са чак толкова сплеснати. Всъщност повечето елиптични орбити почти не се различават от кръга. Например ексцентрицитетът на земната орбита е само около 0,017. По принцип подчертано елиптични орбити имат по-малките тела, които поради нищожната си маса са много по-податливи на странични въздействия. Но елипсите не могат да бъдат прекалено сплеснати. Ако поради някаква причина скоростта на орбитиращото тяло стане по-голяма от една критична стойност, гравитацията на централното тяло е неспособна да го задържа повече. И в този случай отиваме към следващия тип орбита – параболичната.

  • Параболична орбита

Строго погледнато това не е орбита, доколкото думата орбита предполага обикаляне на едно тяло около друго. По-коректно е да се говори за параболична траектория. Чрез такава траектория орбитиращото тяло се откъсва от гравитационната прегръдка на централното тяло и никога вече не се връща при него. То продължава да се движи по параболична траектория, докато друго тяло не го „захване” в орбита около себе си. А ако такова не се намери, тялото ще продължи да пътува завинаги самотно сред космоса.

elipse3 Орбитална механика за начинаещи

Критичната скорост, при която орбитиращото тяло навлиза в параболична траектория се нарича втора космическа скорост (escape velocity). Тази скорост може да се определи като се използва друг фундаментален природен закон – законът за запазване на енергията. Той гласи, че енергията не се губи и само преминава от един вид в друг. Движението на планета по елиптична орбита е изцяло подчинено на този закон. Част от кинетичната енергия на планетата се превръща в гравитационна потенциална, докато се отдалечава от звездата и се преобразува обратно в кинетична, докато се приближава. Сумата от двете енергии винаги е една и съща.

Ако искаме да определим каква скорост трябва да има космически кораб, за да се откъсне завинаги от звездата, около която обикаля, подходът е следният. Взимаме кинетичната енергия Ек1 и потенциална енергия Еп1 на кораба в момента на прехода между елиптична орбита и параболична траектория. Също така взимаме и кинетичната енергия Ек2 и потенциална енергия Еп2, когато корабът е безкрайно далеч от своята звезда. Тъй като енергията се запазва във времето, е в сила равенството: Ек1 + Еп1 = Ек2 + Еп2 . Но безкрайно далеч от звездата, корабът ще има пренебрижимо малка скорост. Следователно кинетичната енергия ще е равна на нула. На нула ще е равна и гравитационната потенциална енергия, тъй като разстоянието до звездата клони към безкрайност. Така че: Ек1 + Еп1 = 0 + 0 или:

f-la31 Орбитална механика за начинаещи

В това уравнение V е втора космическа скорост и може да се изрази като:f-la4 Орбитална механика за начинаещи тоест тя е √2 по-голяма от първа космическа скорост. При по-голяма скорост от тази траекторията, която има тялото, вече се нарича хиперболична.

  • Хиперболична траектория

Хиперболите на пръв поглед изглеждат като параболите и освен ако не сте навътре в математиката, най-вероятно не бихте различили двете криви. Но те са толкова различни една от друга, колкото окръжността е различна от елипсата. За щастие има един сравнително прост начин, по който човек може да се ориентира кое какво е. Оказва се, че окръжността, елипсата, параболата и хиперболата може да се представят като сечения на конус, както е показано на картинката долу:

conic Орбитална механика за начинаещи

Изображение: http://www.physics.hku.hk/

Тук виждаме, че единственото, по което се различават четирите фигури, е ъгъла, под който пресичат конуса. Окръжността е перпендикулярна на оста на конуса, докато елипсата е наклонена спрямо нея. Оста на конуса преминава през елипсата, в точката, където се намира единият от двата нейни фокуса. С увеличаване на наклона на елипсата се стига до момент, в който тя вече пресича самата основа на конуса, като двата й края, ако ги продължим мислено, отиват към безкрайност и не се обединяват никога. Това, което се е получило, е парабола. Сечението на параболата пресича конуса при ъгъл, равен на ъгъла, който сключва стената на конуса с неговата основа. Поради тази причина параболите имат една и съща U-образна форма, разликата е само в големината.

Хиперболите също пресичат основата на конуса, но това става при произволно голям ъгъл. За разлика от параболата, чийто два „ръкава” стават успоредни един на друг, краищата на хиперболата поемат различни посоки. Формата на кривата е нещо такова (

Нека се върнем на примера с оръдието и снаряда. В зависимост от началната скорост на снаряда, той ще има различна орбита. Ако скоростта е равна на първа космическа, орбитата ще е кръгова, ако е по-голяма – орбитата ще е елиптична. Ако скоростта е равна на втора космическа (в случая на Земята – 11 200 m/s), снарядът ще напусне завинаги Земята…

newton-cannon-orbital-types-Seeds Орбитална механика за начинаещи

Изображение: http://www.astro.virginia.edu

…И ще приеме орбита около Слънцето. За да преодолее гравитационното влияние на Слънцето и да напусне Слънчевата система, снарядът трябва да има начална скорост (спрямо земната повърхност) най-малко 16 600 m/s. Тази скорост се нарича трета космическа. Към настоящата дата има пет космически апарата, които в даден етап от полета си са развили по-голяма от тази скорост и в момента напускат Слънчевата система. Това са Pioneer 10, Pioneer 11, Voyager 2, Voyager 1 и New Horizons. От тях Voyager 1 е най-далеч. През септември тази година NASA съобщи, че корабът е навлязъл в междузвездна среда на разстояние 18 750 000 000 km от Слънцето. Това обаче не означава, че Voyager 1 е напуснал Слънчевата система. Със скоростта, с която се движи сега (около 17 km/s) ще са необходими още около 30 000 години, докато премине покрай най-отдалечените обекти от нашата система.  A минималната скорост, която трябваше да има Voyager 1, за да напусне нашата галактика е само около 325 km/s спрямо Слънцето…

Ами това е орбиталната механика, в общи линии. Има още доста какво да се изпише, но то е по-скоро суха терминология, която ако се интересувате, лесно ще откриете в Уикипедия.

Еmil Petkov

Емил е авиационен инженер, който се опитва да предаде тук своите знания и опит. Намира космоса за вълнуващо място и се интересува как чрез новите технологии ще се приближим до него.

  • Ясен

    28.юли.2018 #1 Author

    Бихте ли споделили за ъгловата скорост на Луната, в рамките на обвързаността й със Земята.

    Отговор

    • Еmil Petkov

      28.юли.2018 #2 Author

      Здравей, Ясенe, и благодарим за хубавия въпрос! Видимата ъглова скорост на Луната се определя от два фактора. Единият фактор е въртенето на Луната около Земята, което става за около 27,3 дни, а другият е въртенето на самата Земя около оста й за 24 часа. Така поради околоземното въртене на Луната изглежда, че тя се отмества спрямо звездите в източна посока с около 360 / 27.3 = 13.2 градуса на ден или 0,55 дъгови секунди в секунда. Но Земята се върти около оста си много по-бързо, отколкото Луната обикаля Земята. Така че като цяло на нас ни изглежда, че Луната се премества в западна посока като всички останали небесни тела. Само че, докато звездите „се преместват“ с ъглова скорост 360 / (24*3600) = 15 дъгови секунди в секунда, Луната го прави по-бавно заради околоземното си въртене. Нейната ъглова скорост е приблизително 15 – 0,55 = 14,45 дъгови секунди в секунда. Тоест, ако на звездите им трябват почти 24 часа, за да стигнат до приблизително същата си ъглова позиция на небето спрямо наземен наблюдател, за това на Луната са й необходими 53 минути повече.

      В действителност обаче картинката е още по-сложна. Горните разсъждения са само приблизително верни, тъй като в тях не отчитаме, че плоскостта на лунната орбита не съвпада напълно с равнината на еклиптиката (в действителност тя е наклонена на около пет градуса) и също така пренебрегваме ексцентрицитета на лунната орбита, заради който Луната се движи по-бързо в перигей и по-бавно в апогей. Този фактор води до 12 процентно забавяне или забързване отнесено към средната ъглова скорост на Луната спрямо звездите.

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

For security, use of Google's reCAPTCHA service is required which is subject to the Google Privacy Policy and Terms of Use.

If you agree to these terms, please click here.